Question

20．关于x的方程cos²x+sinx+a=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上有解，则a的取值范围是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．

Answer 1

分析 由题意，x的方程cos²x+sinx+a=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上有解，转化为二次函数值域的问题．

解答 解：由cos²x+sinx+a=0，
转化为：1-sin²x+sinx+a=0，即（sinx-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}+a$
∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上，
sinx∈（0，1）
∴sinx-$\frac{1}{2}$∈（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
则（sinx-$\frac{1}{2}$）²∈[0，$\frac{1}{4}$]
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}+a≤\frac{1}{4}}\\{\frac{5}{4}+a≥0}\end{array}\right.$
∴a的取值范围是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．
故答案为$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．