Question

已知F为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0，a≠b）的右焦点，过F点的直线l与一条渐近线l₁垂直于点M，交另一条渐近线l₂于N点．
（1）求M、N两点的坐标；
（2）求证：当且仅当b²=2a²时，线段MN的中点在双曲线的左准线x=-

a2

c

上．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，设出直线l的方程，联立渐近线方程，即可求得交点M，N的坐标；
（2）从两个方面证明，先由当b²=2a²时，运用中点坐标公式可得中点在左准线上，再由中点在左准线上，证得b²=2a²．

解答： （1）解：设F（c，0），一条渐近线l₁为y=

b

a

x，另一条渐近线l₂为y=-

b

a

x，
则由两直线垂直的条件可得l：y=-

a

b

（x-c），
由y=-

a

b

（x-c）和y=

b

a

x，可得M（

a2

c

，

ab

c

），
再由y=-

a

b

（x-c）和y=-

b

a

x，可得N（

ca2

a2-b2

，-

abc

a2-b2

）；
（2）证明：当b²=2a²时，线段MN的中点的横坐标为

1

2

（

a2

c

+

ca2

a2-b2

）=

1

2

（

a2

c

-c）
=-

c2-a2

2c

=-

b2

2c

=-

a2

c

，即为双曲线的左准线，
若线段MN的中点在双曲线的左准线x=-

a2

c

上，即有

1

2

（

a2

c

+

ca2

a2-b2

）=-

a2

c

，
则有c²=3（b²-a²），即a²+b²=3b²-3a²，即有b²=2a²．
故有当且仅当b²=2a²时，线段MN的中点在双曲线的左准线x=-

a2

c

上．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件，考查中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．