Question

2．如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．
（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；
（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2$\sqrt{3}$，求该圆锥的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出SO⊥平面OBC，从而SO⊥BC，再求出OD⊥BC，从而BC⊥平面SOD，由此能证明平面SBC⊥平面SOD．
（Ⅱ）求出∠COD=60°，OD=1，OC=2，SO=$\sqrt{3}$，SA=$\sqrt{7}$，由此能求出该圆锥的侧面积．

解答 证明：（Ⅰ）由题意知SO⊥平面OBC，
又BC?平面OBC，∴SO⊥BC，
在△OBC中，OB=OC，CD=BD，
∴OD⊥BC，
又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，
又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．
解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，
∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，
∵CD=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，∴OD=1，OC=2，
在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=$\sqrt{3}$，
在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=$\sqrt{7}$，
∴该圆锥的侧面积为${S}_{侧}=π×OA×SA=2\sqrt{7}π$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查圆锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．