Question

如图1，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=

π

4

，∠DBA=

π

6

，沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2），E为AO的中点．

（1）求证：CB⊥DE；
（2）求三棱锥C-BOD的体积；
（3）求二角C-BD-O的正切值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结果．
（2）Rt△ADB中，AB=2，AD=1，O到DB的距离为OF=

1

2

，△OBD的面积为

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，求解体积即可．
（3）确定∠CFO为二角C-BD-O的平面角，运用直角三角形求解即可．

解答： （Ⅰ）证明：在△AOD中，∠DBA=

π

6

，
∵∠OAD=

π

3

，OA=OD，
∴△AOD为正三角形，
又∵E为OA的中点，
∴DE⊥AO，
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，
∴DE⊥平面ABC．
又CB?平面ABC，
∴CB⊥DE．
（2）∵⊙O的直径AB=2，∠CAB=

π

4

，
∴OC⊥AB，OC=2，OC⊥平面ADB，
∵∠DBA=

π

6

，

∴Rt△ADB中，AB=2，AD=1，O到DB的距离为OF=

1

2

，
∴△OBD的面积为

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，
∴三棱锥C-BOD的体积=

1

3

×

3

4

×2=

3

6

，
（3）∵OC⊥平面ADB，OF⊥BD，
∴BD⊥面COF，
∴BD⊥CF，
∴∠CFO为二角C-BD-O的平面角．
∴tan∠CFO=

OC

OF

=

2

1 2

=4
故二角C-BD-O的正切值为4．

点评：本题考查了空间平面中的图形的性质，折叠图形，求解面积，体积问题，夹角，垂直常见的问题，注意线段的长度求解看两个图形的求解即可．