Question

已知函数f（x）=-x²+2ax+2，x∈[2，4]，求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先对函数关系式恒等变换转换成顶点式，通过对对称轴方程与定区间的关系来求顶函数的最大值

解答： 解：函数f（x）=-x²+2ax+2=-（x-a）²+a²+2
对称轴方程为：x=a
①当a＞4时，由于x∈[2，4]函数在定义域内为单调递增函数
∴f（x）_max=f（4）=-14+8a
②当2≤a≤4时，在x=a处取得最大值
∴f(x)max=f(a)=a2+2
③当a＜2时，由于x∈[2，4]函数在定义域内为单调递减函数
∴f（x）_max=f（2）=4a-2
综上所述：①当a＞4时  f（x）_max=-14+8a
②当2≤a≤4时 f(x)max=a2+2
③当a＜2时 f（x）_max=4a-2
故答案为：①当a＞4时  f（x）_max=-14+8a
②当2≤a≤4时 f(x)max=a2+2
③当a＜2时 f（x）_max=4a-2

点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴不定区间定的讨论，以及相关的运算问题．