Question

已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx（x∈R）．
（1）求f（

π

6

）的值；
（2）若cosα=-

3

5

，α∈（

π

2

，π），求f（

α

2

+

π

24

）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由二倍角余弦和正弦公式以及两角和的正弦公式，化简f（x），再代入x=

π

6

，计算即可得到所求值；
（2）由条件先求sinα，再用两角和的正弦公式展开，代入有关数值，即可得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x=1+

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=1+

2

sin（2x+

π

4

）．
则f（

π

6

）=1+

2

sin（

π

3

+

π

4

）=1+

2

×

2

2

（

3

2

+

1

2

）
=

3+ 3

2

；
（2）由cosα=-

3

5

，α∈（

π

2

，π），得sinα=

4

5

，
则f（

α

2

+

π

24

）=1+

2

sin（α+

π

12

+

π

4

）
=1+

2

（sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

）
=1+

2

[

4

5

×

1

2

+（-

3

5

）×

3

2

]
=

10+4 2 -3 6

10

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查二倍角公式和两角和的正弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．