Question

已知圆C经过A（1，1），B（4，-2）两点，且圆心在直线y=-2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦EF，以EF为直径的圆经过原点O．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设圆心C（a，-2a），由题意得（a-1）²+（-2a-1）²=（a-4）²+（-2a+2）²，求出a，即可求出圆C的方程；
（2）假设存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．设直线l的方程为y=x+m．与圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，由于直线l与圆相交于不同两点，可得△＞0，（*）利用根与系数的关系可得

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=0，解得m再代入（*）验证即可．

解答： 解：（1）设圆心C（a，-2a），
由题意得（a-1）²+（-2a-1）²=（a-4）²+（-2a+2）²，
解得a=1，∴C（1，-2），
∴r²=（1-1）²+（-2-1）²=9，
∴圆C的方程为：（x-1）²+（y+2）²=9．
（2）假设存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
设直线l的方程为y=x+m．代入（x-1）²+（y+2）²=9，化为2x²+（2+2m）x+m²+4m-4=0．
∵直线l与圆相交于不同两点，∴△=（2+2m）²-8（m²+4m-4）＞0，化为m²+6m-9＜0．（*）
∴x₁+x₂=-（1+m），x₁x₂=

m2+4m-4

2

．
∵

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=m²+4m-4-m（1+m）+m²=0，
解得m=-4或1，经验证满足（*）．
∴存在斜率为1的直线l：y=x-4或y=x+1满足题意．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查了直线与圆的位置关系转化为方程联立得到△与0的关系、根与系数的关系、数量积运算与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．