Question

设数列{a_n}满足a1+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

=2n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

(an-1)(an+1-1)

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列的前n项和与通项的关系可得a_n；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a1+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

=2n，n∈N^*，①
∴当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，a1+

a2

2

+

a3

22

+…+

an-1

2n-2

=2(n-1)，②
①-②得，

an

2n-1

=2．
∴an=2n．
a₁=2，适合上式，
∴an=2n（n∈N^*）．
（2）由（1）得an=2n．
∴bn=

an

(an-1)(an+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

7

-

1

15

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

．

点评：本题考查了数列的前n项和与通项的关系、“裂项求和”，属于中档题．