Question

6．（Ⅰ）求平行于直线x-2y+1=0，且与它的距离为2$\sqrt{5}$的直线方程；
（Ⅱ）求经过两直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点P，且与直线l₃：2x+3y+1=0垂直的直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直线平行和平行线的距离求出满足条件的直线方程即可；
（Ⅱ）法一：根据方程组求出P的坐标，结合直线垂直的关系求出满足条件的直线方程即可；
法二：根据直线平行，设直线l的方程为x-2y+4+λ（x+y-2）=0，根据直线的垂直关系求出直线的斜率，求出参数的值，从而求出直线方程即可．

解答 解：（Ⅰ）　设与直线x-2y+1=0平行的直线方程为x-2y+c=0，--------（1分）
在直线x-2y+1=0上任取一点P（1，1），
依题意P到直线x-2y+c=0的距离为$\frac{{|{1-2+c}|}}{{\sqrt{1+4}}}=2\sqrt{5}$，解得：c=11或c=-9-------------------------------（4分）
所求直线方程为：x-2y+11=0或x-2y-9=0-----------------------（5分）
（Ⅱ）法一：由方程组$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ x+y-2=0\end{array}$，得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}$，------------------（7分）
即P（0，2）．l₃：2x+3y+1=0的斜率为${k_3}=-\frac{2}{3}$
∵l⊥l₃，∴$k=\frac{3}{2}$，--------------------------（10分）（l₃斜率（1分），k₃k=-（11分），结论1分）
∴直线l的方程为$y-2=\frac{3}{2}x$，
即l：3x-2y+4=0．----------------------------------------------------------（12分）（不整理不扣分）
法二：∵直线l过直线l₁和l₂的交点，
∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ（x+y-2）=0，
即（1+λ）x+（λ-2）y+4-2λ=0．l₃：2x+3y+1=0的斜率为${k_3}=-\frac{2}{3}$
∵l⊥l₃，∴$k=\frac{3}{2}$，
∴3（λ-2）+2（λ+1）=0，
∴λ=$\frac{4}{5}$，
∴直线l的方程为3x-2y+4=0，（对照解法一相应给分）

点评 本题考查了求直线方程问题，考查直线的平行和垂直关系，考查平行线间的距离，是一道中档题．