Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴非负半轴为始边，若终边经过点P（x₀，y₀），且|OP|=r（r＞0），定义sicosθ=$\frac{{x}_{0}+{y}_{0}}{r}$，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到如下结论：
①该函数是偶函数；
②该函数的一个对称中心是（$\frac{3π}{4}$，0）；
③该函数的单调递减区间是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
④该函数的图象与直线y=$\frac{3}{2}$没有公共点；
以上结论中，所有正确的序号是②④．

Answer 1

分析 根据题意，求出函数y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），再利用三角函数的图象与性质，对题目中的命题进行分析判定即可．

解答 解：对于①，根据三角函数的定义可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），图象不关于y轴对称，不是偶函数，错误；
对于②，因为y=sicosθ=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=0，
所以该函数的图象关于点（$\frac{3π}{4}$，0）对称，②正确；
对于③，因为y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），所以由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
可得2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，故错误；
该函数的最大值为$\sqrt{2}$$\frac{3}{2}$，其图象与直线y=$\frac{3}{2}$无公共点，④正确．
故答案为②④．

点评 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，解题的关键是求出函数y=sicosθ的表达式，是综合性题目．