Question

11．定长为l（$l＞\frac{{2{b^2}}}{a}$）的线段AB的两个端点都在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（　　）

• A． $\frac{a（2a+l）}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• B． $\frac{a+l}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• C． $\frac{a（l-2a）}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• D． $\frac{al}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$

Answer 1

分析 用A、B 两点的坐标表示出|FA|和|FB|，解出A、B 两点的坐标，利用|FA|+|FB|≥|AB|，求得m的最小值．

解答 解：设AB中点M的横坐标为m，右焦点为F，离心率为e，AB的中点横坐标为m，
则m=$\frac{1}{2}$（x_A+x_B），
|FA|=e（x_A-$\frac{{a}^{2}}{c}$），|FB|=e（x_B-$\frac{{a}^{2}}{c}$），
∴m=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{e}$（|FA|+|FB|）+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥$\frac{1}{2e}$|AB|+$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2e}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{la}{2c}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$
=$\frac{a（2a+l）}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
当且仅当F、A、B共线时，m取得最小值．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程、以及双曲线的简单性质的应用，注意运用双曲线的第二定义，属于中档题．