Question

16．设函数y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{6}$）的图象各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{π}{24}$个单位，得到函数的图象的对称中心可以是（　　）

• A． （$\frac{π}{4}$，0）
• B． （$\frac{π}{8}$，0）
• C． （$\frac{π}{2}$，0）
• D． （$\frac{5π}{24}$，0）

Answer 1

分析 由倍角公式可求函数解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求y=cos4x，由4x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的对称中心．

解答 解：∵y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{6}$）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）]=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴图象各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，可得函数y=sin（4x+$\frac{π}{3}$），
再向左平移$\frac{π}{24}$个单位，得到函数y=sin[4（x+$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{3}$]=cos4x，
∴由4x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
∴当k=0时，可得函数的图象的对称中心为：（$\frac{π}{8}$，0）．
故选：B．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，是基础题．