Question

1．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D=DC=4，AD=2，E为D₁C的中点．
（1）求三棱锥D₁-ADE的体积．
（2）AC边上是否存在一点M，使得D₁A∥平面MDE？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据公式V${\;}_{{D}_{1}-ADE}$=V${\;}_{A-{D}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{D}_{!}DE}$•AD计算体积；
（2）取AC中点M，连接EM，DM，则可证明D₁A∥平面MDE，从而得出AC的中点为所点．

解答 解：（1）∵AD⊥平面D₁CD，
∴AD是三棱锥A-D₁DE的高．
∵E为D₁C的中点，且D₁D=DC=4，
∴${S_{△{D_1}DE}}=4$，
又AD=2，
∴${V_{{D_1}-ADE}}={V_{A-DE{D_1}}}=\frac{8}{3}$．
（2）取AC中点M，连接EM，DM，
因为E为D₁C的中点，M是AC的中点，
∴EM∥D₁A．
又∵EM?平面MDE，D₁A?平面MDE，
∴D₁A∥平面MDE．∴$AM=\sqrt{5}$．
即在AC边上存在一点M，使得D₁A∥平面MDE，此时M是AC的中点$AM=\sqrt{5}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，线面平行的判定定理，属于中档题．