Question

16．已知曲线C₁：y=ax²上点P处的切线为l₁，曲线C₂：y=bx³上点A（1，b）处的切线为l₂，且l₁⊥l₂，垂足M（2，2），求a、b的值．

Answer 1

分析 求出直线l₁的方程，直线l₂的方程，利用交点坐标，联立方程，求出a，t，b的方程组，求解即可．

解答 解：设P（t，at²），y′=ax²=2ax，则l₁斜率k₁=2at，
∴l₁：y-at²=2at（x-t）．
y=bx³，可得y′=3bx²．
l₂斜率k₂=3bx²|_x=1=3b，
∴l₂：y-b=3b（x-1）…（3分）
∵l₁与l₂交于点M（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}2-a{t^2}=2at（2-t）\\ 2-b=3b（2-1）\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}a{t^2}-4at+2=0\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$①…（5分）
又l₁⊥l₂
∴k₁•k₂=-1，∴at=-$\frac{1}{3}$②…（7分）
由①②得t=10，a=-$\frac{1}{30}$，b=$\frac{1}{2}$…（8分）

点评 本题考查函数的导数曲线的切线方程，抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．