Question

13．已知函数f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，使所得函数为偶函数，求m的最小正值．

Answer 1

分析 先利用和角公式，倍角公式，将函数f（x）化为正弦型函数的形式；
（1）令2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，可得函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，使所得函数为偶函数，则-2m+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，进而得到答案．

解答 解：f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx•（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）…3分；
（1）令2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，k∈Z，…6分；
（2）（2）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，
可得函数g（x）=2sin（2x-2m+$\frac{π}{3}$）的图象…9分
∵函数为偶函数，
故-2m+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
当k=-1时，m取最小正值$\frac{5π}{12}$…12分

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，正弦函数的图象和性质，难度中档．