Question

已知函数f（x）=x-

1

x

．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）方程2^t•f（4^t）-mf（2^t）=0，当t∈[1，2]时，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据单调性的定义，设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）求出f（4^t），f（2^t），所以原方程可变成（2^2t）²-m•2^t+m-1=0，该方程又可变成（2^2t-1）[2^2t-（m-1）]=0，可以得到4≤2^2t≤16，m-1=2^2t，所以得到4≤m-1≤16，解不等式即得实数m的取值范围．

解答： 证明：（1）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则：
f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)；
∵x₁，x₂＞0，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）解：根据解析式f（x）=x-

1

x

，原方程变成：2t•(4t-

1

4t

)-m(2t-

1

2t

)=0；
整理得，（2^2t）²-m•2^2t+m-1=0；
∴（2^2t-1）[2^2t-（m-1）]=0  ①；
∵t∈[1，2]；
∴2^2t∈[4，16]；
∴2^2t-1＞0；
∴由方程①得，2^2t-（m-1）=0；
∴m-1=2^2t；
∴4≤m-1≤16；
∴5≤m≤17；
∴实数m的取值范围为[5，17]．

点评：考查单调增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数，指数函数的单调性，分解因式．