题目内容

已知△ABC中，∠A=90°，D，E两点三等分斜边，若|AD|=sinx．|AE|=cosx．求|BC|．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：运用向量的三角形法则，得
DE
=
AE
-
AD
，通过三等分点，用向量AB，AC表示向量AD，AE，再由向量的平方即为模的平方，求出向量AD，AE的数量积，列出BC的方程，解得即可．
解答： 解：
DE
=
AE
-
AD
，
AD
=
AC
+
CD
=
AC
+
1
3
CB
=
AC
+
1
3
AB
-
1
3
AC

=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
AE
=
AB
+
BE
=
AB
+
1
3
BC
=
AB
+
1
3
AC
-
1
3
AB

=
1
3
AC
+
2
3
AB
，
则
AD
•
AE
=
2
9
AB
2+
2
9
AC
2+
5
9
AB
•
AC

=
2
9
BC
2+
5
9
×0=
2
9
|
BC
|2，
则|
DE
|2=
AE
2+
AD
2-2
AD
•
AE

=cos2x+sin2x-2×
2
9
|
BC
|2
=1-
4
9
|
BC
|2=
1
9
|
BC
|2，
即有|
BC
|=
3
5
5
．
点评：本题考查平面向量的数量积的运算和性质，考查向量的平方即为模的平方，向量的加减运算，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数g（x）=（
1
3
）x，
（1）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3），当x∈[-1，1]时的最小值h（a）；
（2）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（Ⅰ）判断（1）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
x2-1
+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．
设函数f（x）=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，g（x）=x2f（x-1），则函数g（x）的递减区间是（　　）
A、（0，1]
B、（0，1）
C、（-∞，0）
D、（0，+∞）
把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，有如下四个结论：
①AC⊥BD；                           ②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°角；      ④AB与CD所成角为60°
其中正确的结论是
 
．
已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m?β，给出下列命题：
①若α∥β则l⊥m；
②若l∥m则l∥β；
③若α⊥β则l∥m；
④若l⊥m则l⊥β；
其中，正确命题有
 
．（将正确的序号都填上）
已知函数f（x）=x-
1
x
．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）方程2t•f（4t）-mf（2t）=0，当t∈[1，2]时，求实数m的取值范围．
垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是
 
．
定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则有下面三个式子：①f（sin
1
2
）＜f（cos
1
2
）；②f（sin
π
3
）＜f（cos
π
3
）；③f（sin1）＜f（cos1）；其中一定成立的是_____．
已知函数f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=sin2x，则f（-
13π
6
）=（　　）
A、
1
2
B、-
1
2
C、
3
2
D、-
3
2

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