Question

我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥．现有一正三棱锥P-ABC放置在平面α上，已知它的底面边长为2，高为h，BC在平面α上，现让它绕BC转动，并使它在某一时刻在平面α上的射影是等腰直角三角形，则h的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,简单空间图形的三视图

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：分两类讨论，①当由点A在平面α内的射影与BC构成等腰直角三角形时，②当由点P在平面α内的射影与BC构成等腰直角三角形时；找到临界值，从而求出h的取值范围．

解答： 解：由正三棱锥在某一时刻在平面α上的射影是等腰直角三角形知，
①当由点A在平面α内的射影与BC构成等腰直角三角形时，
h可以趋近于0，但h变到最大时，面PBC⊥面α；
此时如右图，其中，A′A=

2

，A′D=1，DP′=

3

3

，
则由三角形相似可得，

PP′

DA′

=

DP′

AA′

；
则h=PP′=

3 3

2

=

6

6

，
则0＜h≤

6

6

；
②当由点P在平面α内的射影与BC构成等腰直角三角形时，
点P在平面α内时，h最小，此时PD=1，则h=

1-( 3 3 )2

=

6

3

；
当面ABC⊥面α时，h最大，此时h=1．
则

6

3

≤h≤1．
综上所述，h的取值范围是：（0，

6

6

]∪[

6

3

，1]．
故答案为：（0，

6

6

]∪[

6

3

，1]．

点评：这是一道难度较高的题，考查点，线，面在一平面内的投影问题，是道压轴题，在解答时注意讨论分类，并找到临界图形．