Question

12．已知函数f（x）=-x²⁰¹⁷-x+sinx，若?θ∈（0，$\frac{π}{2}$），f（cos²θ+3msinθ）+f（-3m-2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{3}$，+∞）
• B． （-∞，$-\frac{1}{3}$]
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 确定函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，化抽象不等式为具体不等式，分离参数，利用斜率，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：函数f（x）为奇函数且f′（x）=-2017x²⁰¹⁶-1+cosx≤0，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
故f（cos²θ+3msinθ）+f（-3m-2）＞0⇒3m（1-sinθ）＞-1-sin²θ，
当θ∈（0，$\frac{π}{2}$）时，3m＞$\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$，而 $\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$可以视为（sinθ，sin²θ），（1，-1）两点的直线斜率，
而（sinθ，sin²θ）在曲线y=x²，x∈（0，1），可知 $\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$＜-1，
故3m≥-1⇒m≥-$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的图象及其恒成立问题、数形结合思想的应用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．