Question

设e₁，e₂是焦点在x轴上，中心在原点且有公共交点F₁，F₂的椭圆和双曲线的离心率，O为坐标原点，P是双曲线的一个公共点，且满足2|OP|=|F₁F₂|，则

1 e12 + 1 e22

的值为（　　）

• A、2
• B、

  2

• C、

  2

  2

• D、1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．

解答： 解：设椭圆的长半轴是a₁，双曲线的实半轴是a₂，它们的半焦距是c
并设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵2|OP|=|F₁F₂|，
，∴PF₁⊥PF₂，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化简可得a₁²+a₂²=2c²
∴

1

e12

+

1

e22

=2，
∴

1 e12 + 1 e22

=

2

．
故选B．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，属于中档题．