Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，满足2S_n=3a_n-3（n∈N^*）数列{

cn

an

}是等差数列，其第三项和第九项分别是a₁和-a₂
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{c_n}的通项公式及前n项和T_n；
（3）如果对任意的n∈N^*，不等式-t²+at+80≥c_n恒成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式的意义、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式与“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）对任意的n∈N^*，不等式-t²+at+80≥c_n恒成立?不等式-t²+at+80≥（c_n）_max．由c_n=（9-2n）×3ⁿ．可得（c_n）_max=c₃=c₄=81．-t²+at+80≥81化为t²-at+1≤0有解的充要条件△≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，∴当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-3，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=3a_n-3-（3a_n-1-3），化为a_n=3a_n-1．
当n=1时，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．
∴sl{a_n}是等比数列，
an=3×3n-1=3n．
（2）∵数列{

cn

an

}是等差数列，其第三项和第九项分别是a₁和-a₂，设公差为d．
∴

c3

a3

=3，

c9

a9

=-9，
∴-9=3+6d，解得d=-2．
∴

cn

an

=3-2（n-3）=9-2n，
∴c_n=（9-2n）×3ⁿ．
∴T_n=7×3+5×3²+3×3³+…+（11-2n）×3^n-1+（9-2n）×3ⁿ，
3T_n=7×3²+5×3³+…+（11-2n）×3ⁿ+（9-2n）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=7×3-2×3²-2×3³-…-2×3ⁿ-（9-2n）×3ⁿ⁺¹=27-

2×3(3n-1)

3-1

-（9-2n）×3ⁿ⁺¹=30-（10-2n）×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=（5-n）×3ⁿ⁺¹-15．
（3）对任意的n∈N^*，不等式-t²+at+80≥c_n恒成立?不等式-t²+at+80≥（c_n）_max，
∵c_n=（9-2n）×3ⁿ．c₁=21，c₂=45，c₃=81，c₄=81，当n≥5时，c₅＜0，
∴（c_n）_max=c₃=c₄=81．
∴-t²+at+80≥81，
∴t²-at+1≤0有解的充要条件△≥0，
∴△=a²-4≥0，
解得a≥2或a≤-2．
∴关于t的不等式有解的充要条件是a≥2或a≤-2．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．