Question

直线l与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，与x轴交于点B，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的最高点，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则

BA

•

BC

=（　　）

• A、

  π2

  4

• B、

  π2

  2

• C、

  π2-4

  4

• D、2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到 cosx₁=

2

π

，点斜式写出AB直线的方程，求出点B的横坐标，由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2=（x₁-x_B）² 求出结果．

解答： 解：由于P（

π

2

，1），直线l的斜率即为OP的斜率：

1-0

π 2 -0

=

2

π

，
设A（x₁，y₁），由y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率．
则cosx₁=

2

π

，y₁=sinx₁=

1-cos2x1

=

π2-4

π

，
则AB的方程为y-y₁=

2

π

（x-x₁），令y=0，则B的横坐标x_B=x₁-

π

2

y₁，
由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2
=（x₁-x_B）²=（

π

2

y₁）²=

π2

4

•

π2-4

π2

=

π2-4

4

故选C．

点评：本题考查直线的斜率公式，函数的导数与斜率的关系，求直线的点斜式方程，以及两个向量数量积的定义，属于中档题．