Question

已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f（2014）=（　　）

• A、0
• B、-4
• C、-8
• D、-16

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（x+6）+f（x）=0，得到f（x+12）=-f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称，得到f（-x）=-f（x），运用周期，化简f（2014）=f（-2）=-f（2），即可得到答案．

解答： 解：f（x+6）+f（x）=0，即f（x+6）=-f（x），
则f（x+12）=-f（x+6）=f（x），
则f（x）为周期为12的函数，
由于y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称，
则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，
即有f（-x）=-f（x），
则f（2014）=f（12×167+10）=f（10）=f（-2），
由于f（2）=4，则f（-2）=-f（2）=-4．
故选B．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．