Question

13．设方程x²-x-3=0的两个根为α，β，求做一个方程，使得它的两个根为α³，-β³．

Answer 1

分析 由题意不妨设α＞0，β＜0，且α+β=1，αβ=-3，构造方程（x-α³）（x+β³）=0，从而化简即可．

解答 解：∵方程x²-x-3=0的根一正一负，
∴不妨设α＞0，β＜0，且α+β=1，αβ=-3，
构造方程（x-α³）（x+β³）=0，
即x²-（α³-β³）x-α³β³=0，
α³-β³=（α-β）（α²+β²+αβ）
=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$（（α+β）²-αβ）
=4$\sqrt{13}$，
α³β³=-27；
故方程为x²-4$\sqrt{13}$x+27=0．

点评 本题考查了方程的根与系数的关系应用及化简运算能力．