Question

【题目】若函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意的正整数都有，.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2） （3）证明见解析

【解析】

（1）求出导数，令即，分类讨论不等式的解集确定导数的符号从而确定函数的单调性；（2）由题意知则，由（1）确定函数单调性从而求出函数在上的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求出a的范围；（3）取由（2）可推出成立，取得，取时，得，取，得，…，取，得，累加即得所需证明的不等式.

（1）∵，

∴，

令即，方程的根为0，,

①当即时，在，上单调递增；

②当即时，在和上单调递增，在上单调递减；

③当即时，在和上单调递增，在上单调递减；

④当即时，，在上单调递减，在上单调递增；

⑤当即时，在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

（2）∵在上恒成立，∴，∴，

由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

∴，∴；

（3）取，∴，

取，可得，

当时，∵，，∴，

取时，得；

取，得；

…

取，得；

将这n个式子相加，得.