题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，若
为
的中点.
（1）证明：
平面；
（2）求异面直线
和
所成角；
（3）设线段
上有一点
，当
与平面
所成角的正弦值为
时，求
的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)
(3)
.
【解析】
（1）先证明平面
平面
，再证明
平面；（2）分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线
和
所成角；（3）设
，
，利用向量法得到
，解方程即得t的值和
的长.
（1）∵
，
，
∴
，
∵平面平面，
平面
平面
，
平面
，
∴平面.
（2）∵
，
，
∴
，
，
如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,
∵
，
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴异面直线和所成角为.
（3）设
为平面
的法向量，
∵，
，
∴
，即
，
设，，
∴
，
设
与平面
所成角为
，
∵
，
∴，
，
，
，
（舍），
，
∴的长为.
【题目】随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成
列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.
① 求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为
，求
的分布列及数学期望．
附表及公式： 
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
