Question

已知函数f（x）=（-x²+ax）e^x（a∈R，e为自然对数的底数）
（1）若函数f（x）在x=0处的切线方程与直线x+2y-1=0垂直，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，
（3）若函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，则a的取值范围是多少？

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到a；
（2）令导数大于0，即得增区间，令导数小于0，即得减区间，注意运用求根公式求解不等式；
（3）函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增等价于（-1，1）包含于f（x）的单调增区间，列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=（-x²+ax）e^x的导数为f′（x）=e^x（-x²+ax-2x+a），
则f（x）在x=0处的切线斜率为f′（0）=e⁰•a=a，
由于在x=0处的切线与直线x+2y-1=0垂直，
则切线的斜率为2，即有a=2；
（2）由于f′（x）=e^x（-x²+ax-2x+a），
令f′（x）＞0，则-x²+ax-2x+a＞0，由于△=（a-2）²+4a=a²+4，
即有

a-2- a2+4

2

＜x＜

a-2+ a2+4

2

，
令f′（x）＜0，则有x＞

a-2+ a2+4

2

，或x＜

a-2- a2+4

2

，
故f（x）的单调增区间是：（

a-2- a2+4

2

，

a-2+ a2+4

2

），
单调减区间是：（-∞，

a-2- a2+4

2

），（

a-2+ a2+4

2

，+∞）；
（3）函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，
则由（2）得，（-1，1）⊆（

a-2- a2+4

2

，

a-2+ a2+4

2

），
即有

a-2- a2+4

2

≤-1且有

a-2+ a2+4

2

≥1，
即

a2+4

≥a①且

a2+4

≥4-a②，
由①得，a∈R，由②得，a≥4或

3

2

≤a＜4，
故由①②得，a≥

3

2

．
则a的取值范围是[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，求单调区间，考查两直线的垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．