Question

5．已知⊙C的圆心在直线y=x上，且与直线y=1相切与点（-1，1）．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）求过点P（0，1）且被⊙C截得弦长为$2\sqrt{3}$的直线的方程；
（3）已知⊙O：x²+y²=r²（r＞0），是否存在这样的r的值使得⊙O能平分⊙C的周长？若存在，求出r的值；若不存在，请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1））由⊙C与直线y=1相切与点（-1，1），可得圆心在直线x=-1上．
即故圆心坐标为（-1，-1），从而半径为2．即可；
（2）根据弦长、半径，求出圆心到直线的距离，当斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求得k．当斜率不存在时，进而验证．
（3）若⊙O能平分⊙C的周长，则它们的公共弦必过⊙C的圆心．可得公共弦所在的直线方程为：2x+2y+r²-2=0．将C（-1，-1）代入，解得r．

解答 解：（1）∵⊙C与直线y=1相切与点（-1，1），故圆心在直线x=-1上．
又圆心在直线y=x上，故圆心坐标为（-1，-1），从而半径为2．
故⊙C的标准方程为（x+1）²+（y+1）²=4；
（2）∵直线截得圆所得弦长为$2\sqrt{3}$，圆的半径为2，
由弦长公式可知圆心C（-1，-1）到该直线的距离$d=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$．
若过P的直线不存在斜率，即x=0，经检验圆心到其距离为1，符合题意，
若过P的直线存在斜率设为k，则直线方程为kx-y+1=0，
则$d=\frac{{|{k•（-1）-（-1）+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=\frac{3}{4}$，此时直线方程为3x-4y+4=0，
综上所述，符合题意的直线方程为x=0或3x-4y+4=0；
（3）若⊙O能平分⊙C的周长，则它们的公共弦必过⊙C的圆心．
将两圆方程对应相减，可得公共弦所在的直线方程为：2x+2y+r²-2=0．
将C（-1，-1）代入，解得r²=6，$r=\sqrt{6}$．
经检验，此时两圆位置关系属于相交，符合题意．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程问题．解题过程中对直线斜率不存在的情况一定不要疏漏．考查了转化思想，属于中档题．