Question

已知各项为正数的数列{a_n}中，a₁=1，对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，公比为q_k；a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，公差为d_k，且d₁=2．
（1）求a₂的值；
（2）设b_k=

1

qk-1

，证明：数列{b_k}为等差数列；
（3）求数列{d_k}的前k项和D_k．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）令k=1，由三个数成等差（比）数列的性质，得到方程组，根据条件解出a2，注意舍去负值；
（2）根据a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列推出①2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，且公比为q_k，得a_2k+1=a_2kq_k，再由a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3成等比数列，公比为q_k+1，得a_2k+2=a_2kq_kq_k+1，将它们代入①化简整理注意两边减1，对照结论即可得证；
（3）根据（2）求出q_k=

k+1

k

，由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，公比为q_k，得到

a2k+1

a2k-1

=(

k+1

k

)2，
再应用累乘法求出a_2k+1，由a_2k+1=a_2kq_k，得到a_2k，由d_k=a_2k+1-a_2k，求出d_k，再运用等差数列求和公式，求出D_k．

解答： 解：（1）由题意令k=1，则a₁，a₂，a₃成等比数列，a₂，a₃，a₄成等差数列，且d₁=2，
∴

a22=a1a3 a3=a2+2

，由a₁=1，则a22=a2+2，
∴a₂=2或a₂=-1，
∵a_n＞0，∴a₂=2；
（2）证明：∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公比为q_k的等比数列，a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3成公比为q_k+1的等比数列
∴a_2k+1=a_2kq_k，a_2k+2=a_2k+1q_k+1
又∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2．
得2a2k+1=

a2k+1

qk

+a2k+1qk+1，2=

1

qk

+qk+1，

qk-1

qk

=qk+1-1，
∴

1

qk+1-1

=

qk

qk-1

=1+

1

qk-1

，

1

qk+1-1

-

1

qk-1

=1，即b_k+1-b_k=1．
∴数列数列{b_k}为公差d=1的等差数列，且b1=

1

q1-1

=1，
∴b_k=b₁+（k-1）•1=k；
（3）当b₁=1时，由（2）得bk=

1

qk-1

=k，qk=

k+1

k

，
即

a2k+1

a2k-1

=(

k+1

k

)2，
∴a2k+1=

a2k+1

a2k-1

•

a2k-1

a2k-3

…

a3

a1

•a1=(

k+1

k

)2•(

k

k-1

)2…(

2

1

)2•1=(k+1)2，
∴a2k=

a2k+1

qk

=k(k+1)，
∴d_k=a_2k+1-a_2k=（k+1）²-k（k+1）=k+1，
即{d_k}成首项为2，公差为1的等差数列，
∴D_k=

k(k+3)

2

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的性质，以及通项公式与求和公式，考查通过构造数列解决相关问题的能力，考查推理证明能力，是一道数列综合题．