Question

14．如图，椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，顶点为A₁、A₂、B₁、B₂，且$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}•\overrightarrow{{A_1}{B_2}}=3$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B₂P交x轴于点Q，直线A₁B₂交A₂P于点E．设A₂P的斜率为k，EQ的斜率为m，试问2m-k是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式，根据向量数量积的坐标运算，即可求得c的值，求得a的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）直线A₂P的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，求得P点坐标，直线B₂P的方程为$y=\frac{{-4{k^2}-4k-1}}{{8{k^2}-2}}x+1$=$-\frac{2k+1}{2（2k-1）}x+1$（$k≠-\frac{1}{2}$），求得Q点坐标，联立求得E点坐标，求得m，则$2m-k=2•\frac{2k+1}{4}-k=\frac{1}{2}$（定值）．

解答 解：（1）由$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由题意及图可得A₁（-a，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），
∴$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（a，-b），\overrightarrow{{A_1}{B_2}}=（a，b）$
又$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}•\overrightarrow{A{B_2}}=3$，则a²-b²=3，∴$c=\sqrt{3}$
∴$a=2，b=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=1$
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）证明：由题意可知A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（0，-1），B₂（0，1），
由A₂P的斜率为k，则直线A₂P的方程为y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，
其中${x_{A_2}}=2$，则${x_P}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+4{k^2}}}$，$P（\frac{{8{k^2}-2}}{{1+4{k^2}}}，\frac{-4k}{{1+4{k^2}}}）$，
则直线B₂P的方程为$y=\frac{{-4{k^2}-4k-1}}{{8{k^2}-2}}x+1$=$-\frac{2k+1}{2（2k-1）}x+1$（$k≠-\frac{1}{2}$），
令y=0，则$x=\frac{2（2k-1）}{2k+1}$，即$Q（\frac{2（2k-1）}{2k+1}，0）$
直线A₁B₂的方程为x-2y+2=0，
由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+2=0\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4k+2}{2k-1}\\ y=\frac{4k}{2k-1}\end{array}\right.$，则$E（\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}）$，
则EQ的斜率$m=\frac{{-\frac{4k}{2k-1}}}{{\frac{2（2k-1）}{2k+1}-\frac{2（2k+1）}{2k-1}}}=\frac{2k+1}{4}$，
∴$2m-k=2•\frac{2k+1}{4}-k=\frac{1}{2}$（定值），
2m-k为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．