Question

6．已知函数f（x）=m-|x-1|，（m＞0），且f（x+1）≥0的解集为[-3，3]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若正实数a，b，c满足$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=m$，求证：a+2b+3c≥3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x+1）≥0等价于|x|≤m，求出解集，利用f（x+1）≥0的解集为[-3，3]，求m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=3$，利用柯西不等式即可证明．

解答 （Ⅰ）解：因为f（x+1）=m-|x|，
所以f（x+1）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m，得解集为[-m，m]，（m＞0）
又由f（x+1）≥0的解集为[-3，3]，故m=3．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=3$，
又∵a，b，c是正实数，
∴a+2b+3c=$\frac{1}{3}（a+2b+3c）（\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}）$$≥\frac{1}{3}{（\sqrt{a•\frac{1}{a}}+\sqrt{2b•\frac{1}{2b}}+\sqrt{3c•\frac{1}{3c}}）^2}=3$．
当且仅当$a=1，b=\frac{1}{2}，c=\frac{1}{3}$时等号成立，
所以a+2b+3c≥3．

点评 本题考查不等式的解法，考查柯西不等式的运用，属于中档题．