Question

9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为$\frac{{41\sqrt{41}}}{48}π$．

Answer 1

分析 根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．

解答 解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点．
根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，
设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2-x，
∴R²=x²+（$\sqrt{2}$）²，R²=1²+（2-x）²，
解得出：x=$\frac{3}{4}$，R=$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
该多面体外接球的体积为：$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{{41\sqrt{41}}}{48}π$，
故答案为$\frac{{41\sqrt{41}}}{48}π$．

点评 本题综合考查了空间几何体的性质，学生的空间思维能力，构造思想，关键是镶嵌在常见的几何体中解决．