Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+x+\frac{7}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]\\{x^3}+ln（\sqrt{3}e-x），x∈（\frac{1}{2}，\frac{7}{4}）\\-x+2，x∈[\frac{7}{4}，2]\end{array}$，若${x_1}∈[0.\frac{1}{2}]$，x₂=f（x₁），x₁=f（x₂），则x₁=（　　）

• A． $\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{6}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由二次函数在闭区间上的值域求法，可得f（x₁）∈[$\frac{7}{4}$，2]，再由方程思想即可计算得到所求值．

解答 解：若${x_1}∈[0.\frac{1}{2}]$，f（x₁）=-x₁²+x₁+$\frac{7}{4}$=-（x₁-$\frac{1}{2}$）²+2，
则f（x₁）在[0，$\frac{1}{2}$]递增，可得x₂=f（x₁）∈[$\frac{7}{4}$，2]，
即有x₁=f（x₂）=-x₂+2，
进而可得x₁=-（-x₁²+x₁+$\frac{7}{4}$）+2，
即x₁²-2x₁+$\frac{1}{4}$=0，
解得x₁=$\frac{2±\sqrt{3}}{2}$，
由${x_1}∈[0.\frac{1}{2}]$，可得x₁=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用：求值，注意运用二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．