题目内容
20．已知数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a3，a17成等比数列（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，Sn是数列{bn}的前n项和，求Sn．
分析 （1）设设数列{an}的公差为d，其又首项为1，a1，a3，a17成等比数列，利用等比数列的性质可得（a1+2d）2=a1•（a1+16d），求得公差d的值，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）知an=3n-2，利用裂项法可得bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），累加即可求得数列{bn}的前n项和Sn．
解答 解：（1）数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，
设其公差为d，则an=1+（n-1）d．
因为a1，a3，a17成等比数列，
所以（a1+2d）2=a1•（a1+16d），
即（1+2d）2=1×（1+16d），解得d=3，
所以an=3n-2．
（2）因为bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
所以Sn=b1+b2+…+bn=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$．
点评 本题考查数列的求和，考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，求得数列{an}的通项公式是关键，突出裂项法求和的应用，属于中档题．
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11．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
（1）画出散点图；
（2）已知y对x有线性相关关系，求回归方程；
（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
附：线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值．
| 转速x（转/秒-1） | 16 | 14 | 12 | 8 |
| 每小时生产有缺点的零件数y（件） | 11 | 9 | 8 | 5 |
（2）已知y对x有线性相关关系，求回归方程；
（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
附：线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足$\overrightarrow{OP}$=$2\overrightarrow{AO}$，
3．在长为3的线段上任取一点，则该点到两端点的距离都不小于1的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{4}{9}$ | D． | $\frac{5}{9}$ |