Question

7．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=$\frac{4}{3}$．
（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；
（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？

Answer 1

分析 （1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，当点M与A重合时，求出圆形保护区半径，即可求圆形保护区的面积；
（2）求出保护区的边界圆M的半径，利用$\left\{\begin{array}{l}{r-d≥80}\\{r-（60-d）≥80}\end{array}\right.$，可得结论．

解答 解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．
由条件知A（0，60），C（170，0），
直线BC的斜率-$\frac{4}{3}$
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率$\frac{3}{4}$
设点B的坐标为（a，b），则k_BC=$\frac{b}{a-170}$=-$\frac{4}{3}$，k_AB=$\frac{b-60}{a}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=80，b=120
所以圆形保护区半径r=AB=$\sqrt{（80-0）^{2}+（120-60）^{2}}$=100
则圆形保护区面积为10000πm²．（8分）
（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60）
由条件知，直线BC的方程为y=-$\frac{4}{3}$（x-170），即4x+3y-680=0
由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r
即r=$\frac{680-3d}{5}$
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以$\left\{\begin{array}{l}{r-d≥80}\\{r-（60-d）≥80}\end{array}\right.$，
解得10≤d≤35
则当d=10，即OM=10m时，M到直线BC的距离最小．（16分）

点评 本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．