Question

8．已知函数f（x）=x²+（a+2）x+b，若f（-1）=-2，且对于任意实数x都有f（x）≥2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）在区间[-3，1]上的单调性；
（3）求函数f（x）在区间[-3，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（-1）=-2得出a，b的关系，令f（x）-2x≥0恒成立可列出不等式，得出a的值，从而得出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）的图象的开口方向和对称轴得出单调性；
（3）利用f（x）的单调性和对称性得出f（x）的最值即可得出f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（-1）=-a-1+b=-2，∴b=a-1．
∵对于任意实数x都有f（x）≥2x．
∴f（x）-2x≥0恒成立，即x²+ax+a-1≥0恒成立，
∴△=a²-4（a-1）≤0，即（a-2）²≤0，
∴a=2，∴f（x）=x²+4x+1．
（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=-2，
∴f（x）在[-3，-2]上单调递减，在（-2，1]上单调递增．
（3）由（2）可知当x=-2时，f（x）取得最小值f（-2）=-3，
当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=6．
∴函数f（x）在区间[-3，1]上的值域是[-3，6]．

点评 本题考查了二次函数的单调性判断与最值计算，函数恒成立问题研究，属于基础题．