Question

如图，由半椭圆x²+

y2

a

=1（y≤0，a＞0）和部分抛物线y=x²-1（y≥0）合成的曲线C经过点（

1

2

，-

3

）．
（1）求a的值；
（2）设A（1，0），B（-1，0），过A且斜率为k的直线l与曲线C相交于P、A、Q三点，问是否存在实数k使得∠QBP=90°？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）把点（

1

2

，-

3

）代入半椭圆x²+

y2

a

=1（y≤0，a＞0），即可解出a．
（2）假设存在实数k使得∠QBP=90°．则直线l的方程为：y=k（x-1），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
把直线l的方程分别与抛物线方程、椭圆方程联立可得P，Q的坐标（用k表示），再利用∠QBP=90°，可得

BQ

•

BP

=0，即（x₂+1，y₂）•（x₁+1，y₁）=0，解出即可．

解答： 解：（1）把点（

1

2

，-

3

）代入半椭圆x²+

y2

a

=1（y≤0，a＞0），可得

1

4

+

3

a

=1．解得a=4．
（2）假设存在实数k使得∠QBP=90°．则直线l的方程为：y=k（x-1），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-1) y=x2-1(y≥0)

，化为x²-kx+k-1=0，解得x₂=k-1，y₂=k²-2k，Q（k-1，k²-2k）．
联立

y=k(x-1) x2+ y2 4 =1(y≤0)

，化为（4+k²）x²-2k²x+k²-4=0，解得x₁=

k2-4

k2+4

，y₁=

-8k

k2+4

，
P(

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

)．
∵∠QBP=90°，∴

BQ

•

BP

=0，
∴（x₂+1，y₂）•（x₁+1，y₁）=0，
∴k•

2k2

k2+4

+

-8k(k2-2k)

k2+4

=0，k≠0．
化为k=

8

3

．
经过验证满足条件．
因此存在实数k=

8

3

使得∠QBP=90°．

点评：本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆抛物线相交问题转化为方程联立可得交点坐标、向量垂直与数量积的关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．