Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=-e^-x（x-1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（-∞，-1）∪（0，1），
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．其中正确命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有-x＜0，从而可求出f（x）=e^-x（x-1），
②从而可看出-1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，
③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，从而判断出③的正误，
④可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

解答 解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，-x＜0，则：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1）；
∴故①错误，
②∵f（-1）=0，f（1）=0；
又f（0）=0；
∴f（x）有3个零点；
故②错误，
③当x＜0时，由f（x）=e^x（x+1）＜0，得x+1＜0；
即x＜-1，
当x＞0时，由f（x）=e^-x（x-1）＜0，得x-1＜0；
得0＜x＜1，
∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（-∞，-1）；
故③正确，
④当x＜0时，f′（x）=e^x（x+2）；
∴x＜-2时，f′（x）＜0，-2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（-2，0）上单调递增；
∴x=-2时，f（x）取最小值-e^-2，且x＜-2时，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即-e^-2＜f（x）＜1；
当x＞0时，f′（x）=e^-x（2-x）；
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
x=2时，f（x）取最大值e^-2，且x＞2时，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=-1；
∴-1＜f（x）≤e^-2；
∴f（x）的值域为（-1，e^-2]∪[-e^-2，1）；
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2；
故④正确，
∴正确的命题为③④．
故选：C

点评 本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，结合函数奇偶性的性质求出函数的解析式，以及利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．