Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1的一条渐近线方程是y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，结合题意可得$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解可得a的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±$\frac{1}{a}$x，
又由题意，该双曲线的一条渐近线方程是y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，则有$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解可得a=$\sqrt{3}$，
又由b=1，则c=$\sqrt{3+1}$=2，
则该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程．