Question

4．若正数a，b，c满足$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+b}{c}$+1，则$\frac{a+b}{c}$的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，对$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+b}{c}$+1变形可得$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=2（$\frac{a+b}{c}$）+1，又由基本不等式的性质分析可得$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$≥6，即可得2（$\frac{a+b}{c}$）+1≥6，化简可得答案．

解答 解：根据题意，若$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+b}{c}$+1，则有$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=2（$\frac{a+b}{c}$）+1，
而$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）≥2+2+2=6，
则有2（$\frac{a+b}{c}$）+1≥6，
化简可得$\frac{a+b}{c}$≥$\frac{5}{2}$，即$\frac{a+b}{c}$的最小值是$\frac{5}{2}$；
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，关键是对等式变形，配凑基本不等式使用的条件．