Question

12．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4及圆内一点P（2，5）．
（1）求过P点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程；
（2）求过点M（5，0）与圆C相切的直线方程．

Answer 1

分析 （1）过P点且与CP垂直的弦长最短，由此能求出点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程．
（Ⅱ）当直线垂直x轴时，直线x=5与圆C相切，当直线不垂直x轴时，设直线方程kx-y-5k=0，由圆心C到直线的距离等于半径，能求出切线方程．

解答 解：（1）∵圆C：（x-3）²+（y-4）²=4及圆内一点P（2，5），
∴由题意，过P点且与CP垂直的弦长最短，（1分）
∵圆心C点坐标为（3，4），∴${k_{PC}}=\frac{4-5}{3-2}=-1$，（3分）
∴所求直线的斜率k=1，代入点斜式方程，（4分）
得y-5=x-2，即x-y+3=0．
∴P点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程为x-y+3=0．（6分）
（Ⅱ）当直线垂直x轴时，即x=5，圆心C到直线的距离为2，此时直线x=5与圆C相切，（8分）
当直线不垂直x轴时，设直线方程为y=k（x-5），即kx-y-5k=0，
圆心C到直线的距离$d=\frac{|3k-4-5k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$（10分）
解得$k=-\frac{3}{4}$，
∴所求切线方程为3x+4y-15=0，或x=5．（12分）

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．