Question

20．设函数f（x）=|2x-a|．
（1）当a=3时，解不等式，f（x）＜|x-2|．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，1]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

Answer 1

分析 （1）对不等式两边平方、整理，再由二次不等式的解法即可得到；
（2）求出f（x）≤1的解集，由题意解得a=1，即$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1$，再运用乘1法和基本不等式即可得证．

解答 解：（1）当a=3时，不等式变形为|2x-3|＜|x-2|，
两边平方整理得3x²-8x+5＜0，解得$1＜x＜\frac{5}{3}$，
所以不等式的解集为$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{5}{3}}\right.}\right\}$
（2）证明：由f（x）≤1得$\frac{a-1}{2}≤x≤\frac{a+1}{2}$，
由f（x）≤1的解集为[0，1]，
可得$\frac{a-1}{2}$=0，$\frac{a+1}{2}$=1，
解得a=1，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1$，
所以$m+2n=（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）（m+2n）=2+\frac{2n}{m}+\frac{m}{2n}≥2+2\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}=4$，
当且仅当m=2n=2，取得等号．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用两边平方的方法；同时考查不等式的证明，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题．