Question

设函数f（x）=ax-lnx，g（x）=e^x-ax，其中a为正实数．
（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=

1

2

ax²-ax在（1，+∞）交点个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出g（x）的导数，令它为0，求出a=1，再求f（x）的导数，令它大于0或小于0，即可得到单调区间；
（2）求出f（x）的导数，讨论a的范围，由条件得到a≥1，再由g（x）的导数不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令g(x)=

1

2

ax2-ax即a=

2ex

x2

，令h（x）=

2ex

x2

，求出导数，求出单调区间，判断极值与e的大小即可．

解答： 解：（1）由g′（x）=e^x-a，
g′（0）=1-a=0得a=1，f（x）=x-lnx
∵f（x）的定义域为：（0，+∞），f′(x)=1-

1

x

，
∴函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（2）由f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

若0＜a＜1则f（x）在（1，+∞）上有最小值f（

1

a

），
当a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增无最小值．
∵g（x）在（1，+∞）上是单调增函数
∴g'（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
综上所述a的取值范围为[1，e]，
此时g(x)=

1

2

ax2-ax即a=

2ex

x2

，令h（x）=

2ex

x2

，h′（x）=

2ex(x-2)

x3

，
则 h（x）在（0，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
极小值为h(2)=

e2

2

＞e．故两曲线没有公共点．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间，求极值和最值，考查分类讨论的思想方法，曲线与曲线交点个数转化为函数极值或最值问题，属于中档题．