Question

已知a＞0，b＞0，求证下列各式：
（1）

a2+b2 2

≥

a+b

2

．
（2）a+b≥

ab

+

a2+b2 2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用a+b＞0且a²+b²≥2ab，即可证明

a2+b2 2

≥

a+b

2

．
（2）由（1）可知，a+b≤2

a2+b2 2

，可得

ab

+

a2+b2 2

≤2

ab+ a2+b2 2 2

=a+b，即可证明a+b≥

ab

+

a2+b2 2

．

解答： 证明：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0且a²+b²≥2ab…（1分）
∴

a2+b2 2

≥

a2+b2+2ab 4

=

a+b

2

（当且仅当a=b时等号成立） …（5分）
∴

a2+b2 2

≥

a+b

2

 …（6分）
（2）∵a＞0，b＞0，∴由（1）可知，a+b≤2

a2+b2 2

…（7分）
∴

ab

+

a2+b2 2

≤2

ab+ a2+b2 2 2

=a+b…（9分）
当且仅当

ab

=

a2+b2 2

即a=b时等号成立 …（11分）
∴a+b≥

ab

+

a2+b2 2

…（12分）

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，难度中等．