题目内容
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C为30°，（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；
（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P-BB1C为正三棱锥，并求此时
| VP-AA1C1C |
| VP-BB1C1C |
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的性质
专题：综合题
分析：（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AC⊥面BB1C1C，再由面面垂直的判断定理证明出面BB1C1C⊥面AA1C1C，再根据条件和线面垂直、面面垂直分别做出二面角A-BB1-C的平面角、AB1与面AA1C1C所成的线面角，并分别证明和计算求解；
（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP1和点E到平面AA1C1C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．
（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP1和点E到平面AA1C1C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．
解答：
解：（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC，且面BB1C1C∩面ABC=BC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB1C1C，
则面BB1C1C⊥面AA1C1C （3分）
取BB1中点E，连接CE，AE，
在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°
∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，
又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1?面BB1C1C，
∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A-BB1-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=
，
∴AC=CE•tan30°=1，取C1C中点D，连接AD，B1D，
∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，
∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，
∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，
即∠B1DA即AB1与面AA1C1C所成的线面角，
则tan∠DAB1=
=
，…（8分）
（Ⅱ）在CE上取点P1，使
=
，
∵CE是△BB1C的中线，∴P1是△BB1C的重心，
在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，
∴PP1⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，
且
=
，∴PP1=
，
∵B1D∥CE，且B1D=CE=
，
∴
=
=2．…（12分）
∴AC⊥面BB1C1C，
则面BB1C1C⊥面AA1C1C （3分）
取BB1中点E，连接CE，AE，
在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°
∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，
又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1?面BB1C1C，
∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A-BB1-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=
| 3 |
∴AC=CE•tan30°=1，取C1C中点D，连接AD，B1D，
∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，
∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，
∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，
即∠B1DA即AB1与面AA1C1C所成的线面角，
则tan∠DAB1=
| B1D |
| AD |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）在CE上取点P1，使
| CP1 |
| P1E |
| 2 |
| 1 |
∵CE是△BB1C的中线，∴P1是△BB1C的重心，
在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，
∴PP1⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，
且
| PP1 |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵B1D∥CE，且B1D=CE=
| 3 |
∴
| VP-AA1C1C |
| VP-BB1C1C |
| ||||||
|
点评：本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，二面角、线面角的求解构成，以及三棱锥的体积公式的应用，难度很大．
练习册系列答案
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