Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线的离心率与渐近线的斜率有关，只有b＞a时，即该渐近线倾斜角大于45°时，才可能与双曲线另一支相交，由此能求出双曲线离心率的范围．

解答： 解：双曲线的离心率与渐近线的斜率有关，
当b＜a时，即该渐近线倾斜角小于45°时，
该渐近线的垂线不可能与双曲线另一支相交，而交点在同一右支上，
当a=b时，该渐近线倾斜角等于45°时，
该渐近线的垂线与另一条渐近线平行，也不可能与双曲线另一支相交，
只有b＞a时，即该渐近线倾斜角大于45°时，才可能与双曲线另一支相交，
∴双曲线离心率e=

c

a

=

a2+b2

a

，
∵b＞a，∴e＞

2 a

a

=

2

，
∴e∈（

2

，+∞）．
故答案为：（

2

，+∞）．

点评：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的渐近线的斜率的灵活运用．