Question

已知关于x的不等式ax²-3x+6＞4的解集为（-∞，1）∪（b，+∞）．
（1）求a，b的值；
（2）求关于x的不等式cx²-bx+a＜0（c＜0）的解集；
（3）若关于x的不等式ax²-dx+bd＜0的解集中恰有两个整数，求实数d的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据不等式的解集和对应方程之间的关系即可求出a，b的值．
（2）根据不等式的解法解不等式即可．
（3）根据不等式的解集确定条件即可求d的取值范围．

解答： 解：（1）∵不等式ax²-3x+6＞4的解集为（-∞，1）∪（b，+∞）．
∴x=1或x=b是方程ax²-3x+6=4的两个根，
即a-3+6=4，解得a=1，
此时方程为x²-3x+2=0，解得b=2，
即a=1，b=2．
（2）由（1）知不等式为cx²-2x+1＜0（c＜0）
∴x2-

2

c

x+

1

c

＞0
∴解为：(-∞，

1+ 1-c

c

)∪(

1- 1-c

c

，+∞)．
（3）设f（x）=x²-dx+2d，由△＞0得d＞8或d＜0
①当d＜0时，f（0）＜0且对称轴在y轴的左侧，两整数为0，-1，
∴

f(-2)≥0 f(-1)＜0 f(0)＜0 f(1)≥0

，解得-1≤d＜-

1

3

．
②当d＞8时，f（4）＜0，且对称轴x=

d

2

＞4，两整数为4，5
∴

f(3)≥0 f(4)＜0 f(5)＜0 f(6)≥0

，解得

25

3

＜d≤9．
综上：-1≤d＜-

1

3

或

25

3

＜d≤9．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，要求熟练掌握三个二次之间的关系和相互之间的转化．