Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=10，a_n+1-a_n=n（n∈N^*），则$\frac{a_n}{n}$取最小值时n=4或5．

Answer 1

分析 通过a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），利用累加法可知a_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+10，进而化简$\frac{a_n}{n}$表达式，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），
∴a_n-a_n-1=n-1，
a_n-1-a_n-2=n-2，
…
a₂-a₁=1，
累加可知：a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
又∵a₁=10，
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+10=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+10，
∴$\frac{a_n}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{10}{n}-\frac{1}{2}$．
∵$\frac{1}{2}n+\frac{10}{n}-\frac{1}{2}$＞2$\sqrt{\frac{n}{2}•\frac{10}{n}}$-$\frac{1}{2}$=$2\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$，n∈N
，
当且仅当$\frac{n}{2}=\frac{10}{n}$，即n=2$\sqrt{5}$．因为n∈N，$\frac{{a}_{4}}{4}$=4，$\frac{{a}_{5}}{5}$=4．
所以n=4或5时表达式取得最小值，
故答案为：4或5

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．