Question

7．有下列命题：
①幂函数f（x）=$\frac{1}{x}$的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②若函数f（x+2016）=x²-2x-1（x∈R），则函数f（x）的最小值为-2；
③若函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＜f（a+1）；
④若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x，（x≥1）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）；
 ⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．
其中正确命题的序号有②③．

Answer 1

分析 根据函数的图象和性质，逐一分析给定的五个命题的真假，可得答案．

解答 解：①幂函数f（x）=$\frac{1}{x}$有两个单调递减区间：（-∞，0），（0，+∞），在（-∞，0）∪（0，+∞）上不具单调性，故错误；
②若函数f（x+2016）=x²-2x-1=（x-1）²-2（x∈R），当x=1时，函数f（x）的最小值为-2，故正确；
③若函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则a＞1，a+1＞2，
则f（-2）=f（2）＜f（a+1）；故正确
④若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x，（x≥1）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，则$\left\{\begin{array}{l}3a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 3a-1+4a≥0\end{array}\right.$
解得：a的取值范围是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）；故错误，
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数不一定是f（x）=0（x∈R）．定义域关于原点对称即可，故错误；
故答案为：②③

点评 本题以命题的真假判断应用为载体，考查了函数的单调性，函数的最值，函数的奇偶性等知识点，难度中档．