Question

在等差数列{a_n}中，满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}前n项的和．
（1）若a₁＞0，当S_n取得最大值时，求n的值；
（2）若a₁=-46，记b_n=n（a_n+40），求证：数列{b_n}是递增数列．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的公差，由3a₅=5a₈得到公差和首项的关系，把前n项和用首项表示，配方后求得S_n取得最大值时n的值；
（2）由a₁=-46求出{a_n}的通项公式，代入b_n=n（a_n+40）后作差法证明数列{b_n}是递增数列．

解答： （1）解：设{a_n}的公差为d，则
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），
∴d=-

2

23

a1，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×(-

2

23

a1)
=-

1

23

a1n2+

24

23

a1n
=-

1

23

a₁（n-12）²+

144

23

a₁．
∵a₁＞0，
∴当n=12时，S_n取得最大值；
（2）证明：由（1）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
则b_n=n（a_n+40）=n（4n-50+40）=4n²-10n．
∵bn+1-bn=4(n+1)2-10(n+1)-4n2+10n=8n-6≥8×1-6=2＞0．
故数列{b_n}是递增数列．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，训练了等差数列前n项和最大值的求法，考查了数列的函数特性，是中低档题．